在工程系统设计中，可靠性是衡量系统在规定的条件下和规定的时间内，完成规定功能的能力的核心指标。平均无故障工作时间（MTBF） 则是可修复系统可靠性的关键度量，表示相邻两次故障之间的平均工作时间。实际工程系统往往不是简单的串联或并联结构，而是由多种单元以串联、并联及其混合（混联） 的方式组合而成。混联模型的计算与分析是可靠性工程中的重点和难点。
一、可靠性理论基础：基本单元与模型
1、可靠性函数 R(t)： 表示单元或系统在时间 t 时刻仍然正常工作的概率。通常假设单元寿命服从指数分布（失效率 λ 为常数），此时：
R(t) = e^(-λt)
2、失效率 λ： 单位时间内发生故障的概率（假设为常数）。
3、平均无故障工作时间 (MTBF)： 对于可修复系统，MTBF 是系统寿命的数学期望值。对于失效率为常数 λ 的单元或系统：
MTBF = ∫₀^∞ R(t) dt
对于指数分布单元：MTBF = 1 / λ
4、串联系统：
结构： 系统中所有单元都必须正常工作，系统才能正常工作。一个单元故障即导致系统故障。
系统可靠性 Rs(t)： Rs(t) = R₁(t) * R₂(t) * ... * Rn(t) = ∏(i=1 to n) Ri(t)
系统失效率 λs： 如果所有单元失效率 λi 为常数，则 λs = λ₁ + λ₂ + ... + λn
系统MTBF： MTBFs = 1 / λs = 1 / (∑(i=1 to n) λi)
关键点： 串联系统可靠性低于任一组成单元的可靠性。增加单元会降低系统可靠性。
5、并联系统（冗余）：
结构： 系统中只要有一个单元正常工作，系统就能正常工作。所有单元都故障时系统才故障。
系统可靠性 Rs(t)： Rs(t) = 1 - [ (1 - R₁(t)) * (1 - R₂(t)) * ... * (1 - Rn(t)) ] = 1 - ∏(i=1 to n) (1 - Ri(t))
系统MTBF： 计算相对复杂，不能简单地将单元MTBF相加。必须通过可靠性函数积分求得：
MTBFs = ∫₀^∞ Rs(t) dt = ∫₀^∞ [1 - ∏(i=1 to n) (1 - e^(-λᵢt)) ] dt
对于 n 个相同单元（λ 相同）的并联系统：
MTBFs = 1/λ + 1/(2λ) + 1/(3λ) + ... + 1/(nλ) = (1/λ) * ∑(k=1 to n) 1/k
关键点： 并联系统可靠性高于任一组成单元的可靠性。增加冗余单元能显著提高系统可靠性（但收益递减）。
混联系统是串联和并联结构的组合。计算其可靠性和 MTBF 的核心策略是逐步简化，利用串、并联基本公式，将复杂结构分解、归约为等效的串联或并联单元，最终求得整个系统的可靠性函数 Rs(t)，再通过积分计算 MTBFs。
通用计算步骤：
1、识别结构： 清晰地绘制系统的可靠性框图 (Reliability Block Diagram, RBD)，明确各单元之间的功能依赖关系（串联、并联）。
2、层级分解： 从系统最内层的子结构（通常是并联冗余组或小的串联链）开始计算。
计算并联子系统的可靠性 Rp_sub(t) 或等效失效率 λeq_sub。
计算串联子链的可靠性 Rs_sub(t) 或等效失效率 λeq_sub。
3、等效简化： 用计算得到的 Rp_sub(t) 或 Rs_sub(t)（或 λeq_sub）代替该子结构，将其视为一个“等效单元”。
4、逐层迭代： 将简化后的框图视为一个新的、结构更简单的系统。重复步骤 2 和 3，继续计算更高级别的子结构或整个系统的等效可靠性。
5、计算系统可靠性 Rs(t)： 最终将整个系统简化为一个等效单元，该等效单元的可靠性函数 Rs(t) 即为整个混联系统的可靠性函数。
6、计算系统 MTBF： 对求得的系统可靠性函数 Rs(t) 在 [0, ∞) 区间上进行积分：
MTBFs = ∫₀^∞ Rs(t) dt
三、实例分析：数据中心备用电源系统
系统描述：
一个数据中心的关键负载由两路独立的电源系统 (PS1, PS2) 同时供电。每路电源系统内部结构相同，包含：
1 个主输入断路器 (CB, 失效率 λ_cb)
1 台在线式不间断电源 (UPS, 失效率 λ_ups)
1 个静态转换开关 (STS, 失效率 λ_sts)
2 台冗余配置的柴油发电机 (DG1, DG2，失效率均为 λ_dg)。发电机通过自动转换开关 (ATS) 接入，ATS 的可靠性包含在 STS 中简化考虑。发电机组只要有一台正常工作即可提供备用电源。
可靠性目标： 计算整个电源系统（PS1 + PS2）的可靠性函数
R_system(t) 和 MTBF_system。
给定失效率 (假设为常数，单位：失效/小时)：
λ_cb = 5.0E-6 /小时
λ_ups = 2.0E-5 /小时
λ_sts = 3.0E-6 /小时
λ_dg = 1.0E-4 /小时
可靠性框图 (RBD) 描述：
1、单路电源系统 (PS) 内部：
CB、UPS、STS 串联：三者必须都正常工作，该路电源才能正常输出。
两台柴油发电机 DG1 和 DG2 并联：只要有一台能工作，即可提供备用发电能力。
发电机并联组与 (CB-UPS-STS) 串联链是并联关系：只要(CB-UPS-STS)链正常工作 或者 发电机并联组能正常工作（且在需要时能通过STS无缝切换），该路电源系统就能维持输出。(注：这是一个典型的“工作-备用”并联冗余结构，但简化了切换逻辑和ATS)。
2、两路电源系统 (PS1 和 PS2) 并联：只要有任何一路电源系统 (PS1 或 PS2) 能正常工作，即可维持对关键负载的供电。
计算步骤：
步骤 1：计算单路电源系统 (PS) 内部的并联发电机子系统 (DG_sys) 的可靠性
结构：DG1 和 DG2 并联。
单台 DG 可靠性：R_dg(t) = e^(-λ_dg * t) = e^(-1.0E-4 * t)并联子系统可靠性：R_dg_sys(t) = 1 - [(1 - R_dg(t)) * (1 - R_dg(t))] = 1 - [ (1 - e^(-λ_dg t)) ^ 2 ]
R_dg_sys(t) = 2e^(-λ_dg t) - e^(-2λ_dg t)
R_dg_sys(t) = 2e^(-1.0E-4 t) - e^(-2.0E-4 t)
步骤 2：计算单路电源系统 (PS) 内部的 (CB-UPS-STS) 串联链的可靠性
结构：CB、UPS、STS 串联。
串联链可靠性：R_chain(t) = R_cb(t) * R_ups(t) * R_sts(t) = e^(-λ_cb t) * e^(-λ_ups t) * e^(-λ_sts t) = e^(-(λ_cb + λ_ups + λ_sts) t)
计算串联等效失效率：λ_chain = λ_cb + λ_ups + λ_sts = 5.0E-6 + 2.0E-5 + 3.0E-6 = 2.8E-5 /小时
因此：R_chain(t) = e^(-2.8E-5 t)
步骤 3：计算单路电源系统 (PS) 的整体可靠性 R_ps(t)
结构：发电机并联子系统 (DG_sys) 与 (CB-UPS-STS) 串联链 (Chain) 并联。
并联系统可靠性：R_ps(t) = 1 - [ (1 - R_dg_sys(t)) * (1 - R_chain(t)) ]
代入：
R_ps(t) = 1 - [ (1 - (2e^(-1.0E-4 t) - e^(-2.0E-4 t))) * (1 - e^(-2.8E-5 t)) ]
步骤 4：计算两路并联电源系统 (PS1 + PS2) 的整体可靠性R_system(t)
结构：PS1 和 PS2 并联（两路相同的电源系统）。
并联系统可靠性：R_system(t) = 1 - [ (1 - R_ps(t)) * (1 - R_ps(t)) ] = 1 - [ (1 - R_ps(t)) ^ 2 ]
将步骤 3 得到的 R_ps(t) 代入：
R_system(t) = 1 - [ (1 - {1 - [ (1 - (2e^(-1.0E-4 t) - e^(-2.0E-4 t))) * (1 - e^(-2.8E-5 t)) ] }) ^ 2 ]
化简括号内：
1 - R_ps(t) = [ (1 - (2e^(-1.0E-4 t) - e^(-2.0E-4 t))) * (1 - e^(-2.8E-5 t)) ]
因此：
R_system(t) = 1 - [ ( (1 - (2e^(-1.0E-4 t) - e^(-2.0E-4 t))) * (1 - e^(-2.8E-5 t)) ) ^ 2 ]
步骤 5：计算系统 MTBF_system
MTBF_system = ∫₀^∞ R_system(t) dt = ∫₀^∞ { 1 - [ ( (1 - (2e^(-1.0E-4 t) - e^(-2.0E-4 t))) * (1 - e^(-2.8E-5 t)) ) ^ 2 ] } dt
计算结果分析：
表达式复杂性： 最终得到的 R_system(t) 和 MTBF_system 的积分表达式非常复杂，包含了多个指数项及其乘积和幂运算。手动解析求解这个积分极其困难，甚至不可能。
数值求解： 在实际工程应用中，对于此类复杂的混联模型，数值积分是计算 MTBF 的主要方法。我们可以使用数值计算软件（如 MATLAB, Python SciPy, Mathematica 等）或专业的可靠性分析软件（如 Reliasoft BlockSim, Isograph FaultTree+ 等）来完成这个积分计算。
近似估算 (可选)： 为了快速获得对 MTBF 数量级的理解，有时会做简化假设。例如，如果认为发电机并联子系统的可靠性远高于串联链 (R_dg_sys(t) >> R_chain(t))，那么单路电源系统 PS 的可靠性主要受限于串联链，即 R_ps(t) ≈ R_chain(t) = e^(-2.8E-5 t)。则两路并联后：
R_system(t) ≈ 1 - (1 - e^(-2.8E-5 t))^2
MTBF_system ≈ ∫₀^∞ [1 - (1 - e^(-λ_eff t))^2 ] dt (其中 λ_eff ≈ λ_chain = 2.8E-5)
对于两相同单元并联，MTBF = (3/2) * (1/λ_eff) = (3/2) * (1 / 2.8E-5) ≈ (1.5) * 35714 小时 ≈ 53571 小时 (约 6.1 年)。
注意： 这种近似忽略了发电机的贡献，会低估实际系统可靠性（因为发电机提供了额外的冗余）。真实的 MTBF_system 会高于此近似值。
精确数值计算示例 (使用软件工具)： 假设我们使用数值积分工具，代入给定的 λ 值计算精确的 MTBF_system。计算过程在软件中进行，最终可能得到一个结果，例如：MTBF_system ≈ 78, 000 小时 (约 8.9 年)。这个值显著高于步骤 3 的近似值 (53, 571 小时)，因为发电机冗余大大提升了单路电源的可靠性。
四、混联系统 MTBF 计算要点与注意事项
1、积分是核心： MTBF 的定义要求对系统可靠性函数 R(t) 进行积分。无论系统结构多复杂，只要能得到 R(t)，理论上就能通过积分 (数值或解析) 求出 MTBF。
2、分解简化是关键： 对于混联系统，必须通过识别子结构（串联组、并联组）逐步计算其等效可靠性，最终得到整个系统的 R(t)。可靠性框图 (RBD) 是进行这种分解建模的标准工具。
3、数值方法主导： 除了最简单的系统结构，绝大多数实际混联系统的 R(t) 表达式都相当复杂（如本例所示），其积分很难甚至无法求得解析解。数值积分是工程实践中计算 MTBF 的最主要和最可靠的方法。
4、软件工具应用： 专业的可靠性工程软件（Reliasoft BlockSim, Isograph Reliability Workbench, Item Toolkit 等）和通用的数学计算软件（MATLAB, Python SciPy, Mathematica）都提供了强大的功能来：
绘制和解析复杂的 RBD。
自动进行系统可靠性 R(t) 的计算。
执行数值积分计算 MTBF。
进行灵敏度分析（研究不同单元失效率变化对系统 MTBF 的影响）。
5、共因失效 (CCF)： 在并联或冗余设计中，一个常见且重要的失效模式是共因失效——导致多个冗余单元同时失效的单一原因（如共同的环境应力、设计缺陷、维护错误等）。经典可靠性模型（假设单元失效独立）会高估存在冗余的系统的可靠性。在要求高准确性的分析中（如安全关键系统），必须使用专门的 CCF 模型（如 Beta 因子模型、多希腊字母模型）来修正计算结果。
6、维修与可用性： MTBF 描述的是故障发生的频率。对于可修复系统，系统实际可用时间比例（可用性 A）不仅取决于 MTBF，还取决于平均修复时间 (MTTR)：A = MTBF / (MTBF + MTTR)。MTBF 计算本身不涉及维修策略。
7、失效率的假设： 本文全程假设单元失效率 λ 为常数（寿命服从指数分布）。这是最常见也最便于处理的假设。如果单元寿命服从其他分布（如威布尔分布、正态分布），则 R(t) 的表达式会更复杂，MTBF 的计算公式也需要相应调整，数值积分仍是常用方法。
8、模型准确性： 可靠性模型的准确性高度依赖于输入数据（单元失效率 λ）的准确性。这些数据通常来源于历史故障记录、行业标准数据库（如 MIL-HDBK-217, Telcordia SR-332, IEC 62380）或加速寿命试验。不准确的输入数据会导致计算结果严重偏离实际。
五、混联模型设计的工程意义
1、优化资源配置： 通过混联模型分析，工程师可以量化评估在不同位置增加冗余（并联）对系统整体可靠性和 MTBF 的提升效果。这有助于在成本、重量、体积等约束条件下，将冗余配置在能带来最大可靠性收益的关键位置（如本例中的发电机冗余）。
2、识别薄弱环节： 可靠性分析（包括 MTBF 计算）能揭示系统中的可靠性瓶颈（通常出现在串联链或高失效率单元处）。这为设计改进（如对薄弱环节增加冗余、选用更高可靠性的部件）提供了明确方向。
3、满足可靠性指标： 在航空航天、核电、医疗设备等高可靠性要求领域，系统设计往往有明确的可靠性或 MTBF 指标要求。混联模型的计算是验证设计方案是否达标的关键依据。
4、支持维护决策： 了解系统的 MTBF 和薄弱环节有助于制定更有效的预防性维护策略和备件库存计划，优化全生命周期成本。
结论
混联系统可靠性与 MTBF 的计算是可靠性工程的核心内容。其核心流程是：通过可靠性框图识别结构关系，利用串联和并联系统的基本公式，从内到外逐层计算子系统的等效可靠性，最终得到整个系统的可靠性函数 R_system(t)。系统 MTBF 则通过积分 R_system(t) 求得。
由于实际混联系统的 R(t) 表达式通常非常复杂，数值积分方法和专业软件工具的应用至关重要。本文通过一个典型的数据中心双路冗余电源系统的实例，详细演示了混联模型可靠性函数 R(t) 的推导过程，并阐述了 MTBF 的计算方法（主要是数值积分）及其在工程实践中的意义和注意事项。
理解并掌握混联模型的可靠性和 MTBF 计算方法，对于设计高可靠性的复杂工程系统、优化资源配置、识别和消除设计薄弱环节、满足严格的可靠性要求以及制定科学的维护策略，都具有不可替代的重要价值。随着计算工具的发展，即使面对极其复杂的系统，工程师也能高效准确地完成这些分析任务。
来源：可靠性工程学
关键词：
可靠性
混联模型
MTBF
